【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMP Kelas Delapan Semester II: Rahasia Tumpukan Kertas: Mengenal Jajaran Genjang

Bayangkan sinar paralel dalam fisika yang menembus lubang kertas di atas meja, atau potong dua lembar kertas transparan dengan tepi sejajar secara acak, lalu tumpukkan mereka secara silang. Tidak peduli bagaimana Anda memutar sudut kedua kertas tersebut, daerah gelap yang tumpang tindih akan selalu membentuk bentuk geometris sempurna—jajaran genjang.

Inti dan Penguraian Jajaran Genjang

在几何学中，“平行”代表着永不相交的秩序。当我们结合两组互相平行的线段时，就定义了这个迷人的多边形：Empat sisi yang memiliki dua pasang sisi berhadapan yang sejajar disebut jajaran genjang(dilambangkan sebagai $\square ABCD$).

Untuk membuka rahasia jajaran genjang, para matematikawan menggunakan strategi penyerangan dimensi rendah yang luar biasa:‘Hubungkan diagonal’。一条对角线，瞬间将未知的四边形切分为两个我们已经熟知的三角形！

Langkah 1: Perkenalkan diagonal untuk membangun jembatan

Seperti pada Gambar 18.1-3, hubungkan diagonal $AC$ dalam $\square ABCD$.

Gunakan sihir sudut dalam berseberangan dari garis sejajar:
$\because AD \parallel BC$ dan $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, dan $\angle 3 = \angle 4$.

Langkah 2: Kemenangan segitiga kongruen

Pada saat ini, $AC$ adalahsisi bersama.

Berdasarkan teorema sudut-sisi-sudut (ASA), $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
Begitu kongruen, elemen-elemen yang sesuai sama persis:
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, dan $\angle B=\angle D$.

Jarak dan tinggi: kerjasama abadi antara garis sejajar

Mengapa tinggi dengan alas yang sama selalu sama meskipun jajaran genjang miring ke mana saja? Ini memunculkan konsep inti lainnya:Jarak antara dua garis sejajar. Jarak antara dua garis sejajar adalah segmen tegak lurus dari titik mana pun pada satu garis ke garis lainnya. Seperti rel kereta api, panjang bantalan antar rel selalu sama.

🎯 Hukum Inti dan Teorema Pemutus

Asalkan Anda menguasai teknik pemecahan menjadi segitiga kongruen, Anda dapat dengan mudah menyimpulkan semua sifat dan teorema pembuktian!

Teorema Sifat:Sisi berhadapan jajaran genjang sama panjang; sudut berhadapan sama besar; diagonal saling membagi dua sama panjang.
Teorema Pemutus (penalaran terbalik):Empat sisi dengan dua pasang sisi berhadapan sama panjang adalah jajaran genjang; empat sisi dengan dua pasang sudut berhadapan sama besar adalah jajaran genjang; empat sisi dengan diagonal saling membagi dua sama panjang adalah jajaran genjang; empat sisi dengan satu pasang sisi berhadapan sejajar dan sama panjang adalah jajaran genjang.

PERTANYAAN 1

Dalam jajaran genjang $\square ABCD$, diketahui dua sisi berdekatan $AB=5$, $BC=3$. Hitung keliling jajaran genjang ini.

PERTANYAAN 2

Dalam jajaran genjang $\square ABCD$, diketahui sudut dalam $\angle A=38^{\circ}$. Berapa besar $\angle B$ dan $\angle C$?

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

PERTANYAAN 3

Xiaoming berjalan ke timur sejauh $80\text{ m}$, lalu berjalan ke arah lain sejauh $60\text{ m}$, kemudian berjalan ke arah ketiga sejauh $100\text{ m}$ dan kembali tepat ke lokasi awal. Setelah berjalan ke timur sejauh $80\text{ m}$, ke arah mana dia berjalan untuk kedua kalinya?

Selatan atau Utara

Tenggara atau Timur Laut

Timur atau Barat

Barat Laut atau Barat Daya

PERTANYAAN 4

Untuk memastikan dua rel kereta api yang dipasang lurus benar-benar sejajar, cukup membuat semua bantalan antar rel yang sejajar memiliki panjang yang sama. Prinsip geometri apa yang terkandung di sini?

Segmen garis sejajar yang terletak di antara dua garis sejajar sama panjang, dan jarak antara dua garis sejajar selalu sama di setiap tempat

Sudut-sudut yang bersesuaian dari segitiga kongruen sama besar

Empat sisi dengan diagonal saling membagi dua sama panjang adalah jajaran genjang

Garis tengah segitiga sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengah dari sisi ketiga

PERTANYAAN 5

Seperti pada gambar, $\square OABC$ berada dalam koordinat kartesius, dengan titik-titik sudut $O, A, C$ memiliki koordinat $(0,0), (a,0), (b,c)$. Gunakan sifat jajaran genjang untuk mencari koordinat titik $B$.

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

Latihan Nyata: Eksplorasi Mendalam tentang Jajaran Genjang

Gunakan segitiga kongruen dan teorema pemutus untuk menyelesaikan masalah kompleks

[Eksplorasi Langsung] Potong dua lembar kertas dengan sisi berhadapan sejajar, tumpukkan secara silang secara acak, bagian yang tumpang tindih membentuk segiempat $ABCD$. Putar salah satu kertas, apakah hubungan panjang segmen $AD$ dan $BC$? Mengapa?

Penjelasan Detail:
Hubungan:Segmen $AD = BC$.
Alasannya:Ketika dua lembar kertas ditumpuk secara silang, karena sisi berhadapan kertas sendiri sejajar, maka dalam segiempat $ABCD$ yang terbentuk dari area tumpang tindih pasti ada $AB \parallel CD$ dan $AD \parallel BC$. Berdasarkan definisi 'empat sisi dengan dua pasang sisi berhadapan sejajar adalah jajaran genjang', segiempat $ABCD$ adalah jajaran genjang. Selanjutnya, berdasarkan teorema sifat jajaran genjang 'sisi berhadapan pada jajaran genjang sama panjang', diperoleh $AD = BC$. Tidak peduli bagaimana sudutnya diputar, teorema ini selalu berlaku.

[Keliling dan Diagonal] Dalam $\square ABCD$, diagonal $AC$ dan $BD$ berpotongan di titik $O$. Diketahui $BC=10, AC=8, BD=14$.
(1) Berapa keliling $\triangle AOD$?
(2) Keliling $\triangle ABC$ dan $\triangle DBC$, mana yang lebih panjang? Seberapa panjang?

Penjelasan Detail:
(1) Hitung keliling $\triangle AOD$:
Berdasarkan sifat jajaran genjang 'diagonal saling membagi dua sama panjang' dan 'sisi berhadapan sama panjang', diketahui:
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$,
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$,
$AD = BC = 10$.
Maka keliling $\triangle AOD$ = $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$.

(2) Bandingkan keliling $\triangle ABC$ dan $\triangle DBC$:
Keliling $\triangle ABC$ = $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$.
Keliling $\triangle DBC$ = $CD + BC + BD$. Karena $CD = AB$, maka keliling = $AB + 10 + 14 = AB + 24$.
Setelah dibandingkan, keliling $\triangle DBC$ lebih panjang dari $\triangle ABC$, dan selisihnya adalah $24 - 18 = 6$.

[Tantangan Soal Pembuktian] Seperti pada gambar, diagonal $AC, BD$ dari $\square ABCD$ berpotongan di titik $O$, $EF$ adalah garis yang melalui titik $O$, dan berpotongan dengan $AB, CD$ di titik $E, F$ masing-masing. Buktikan bahwa $OE=OF$.

Proses pembuktian:
Dalam $\square ABCD$, sisi berhadapan $AB \parallel CD$, dan diagonal saling membagi dua sama panjang, sehingga $OA = OC$.
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ (dua garis sejajar, sudut dalam berseberangan sama besar).
Dalam $\triangle AOE$ dan $\triangle COF$:
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (sudut bertolak belakang sama besar)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (teorema ASA).
$\therefore OE = OF$ (sisi yang bersesuaian pada segitiga kongruen sama panjang). Terbukti.
*Wawasan: Kesimpulan ini menunjukkan bahwa garis apa pun yang melalui pusat jajaran genjang tidak hanya membagi dua luas jajaran genjang, tetapi segmen yang dipotong oleh sisi berhadapan juga dibagi dua oleh pusat.

[Keterkaitan Beberapa Bentuk] Seperti pada gambar, ada dua segiempat yang saling terhubung, $ABCD$ dan $CDEF$, diketahui $AB=DC=EF$, $AD=BC$, $DE=CF$. Di gambar ini, garis mana yang saling sejajar?

Penjelasan Detail:
Ada tiga pasang segmen garis sejajar dalam gambar:$AB \parallel DC \parallel EF$,$AD \parallel BC$, serta $DE \parallel CF$.
Proses penalaran:
1. Dalam segiempat $ABCD$, karena $AB=DC$ dan $AD=BC$. Berdasarkan teorema pemutus 'empat sisi dengan dua pasang sisi berhadapan sama panjang adalah jajaran genjang', segiempat $ABCD$ adalah jajaran genjang. Dari sini didapat $AB \parallel DC$ dan $AD \parallel BC$.
2. 同理，在四边形 $CDEF$ 中，因为 $DC=EF$（由 $AB=DC=EF$ 得出）且 $DE=CF$。四边形 $CDEF$ 也是平行四边形。由此得到 $DC \parallel EF$ 和 $DE \parallel CF$。
3. Akhirnya, karena $AB \parallel DC$ dan $DC \parallel EF$, berdasarkan sifat transitif garis sejajar, maka pasti $AB \parallel EF$. Jadi tiga segmen garis $AB, DC, EF$ saling sejajar.

[Gabungan Aljabar dan Geometri] Jika segiempat $ABCD$ adalah jajaran genjang, diketahui satu sisi $AB=6$, dan panjang $AB$ tepat merupakan $\frac{3}{16}$ dari keliling $\square ABCD$. Berapa panjang sisi berdekatan $BC$?

Penjelasan Detail:
1. Pertama, hitung keliling total berdasarkan proporsi panjang $AB$. Keliling $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$.
2. Berdasarkan sifat sisi berhadapan jajaran genjang yang sama panjang, keliling $= 2 \times (AB + BC)$.
3. Masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan: $32 = 2 \times (6 + BC)$.
4. Diperoleh $6 + BC = 16$, maka $BC = 10$.

[Analisis Konsep] Apakah segiempat yang memenuhi kondisi berikut merupakan persegi?
(Pengetahuan tambahan: jika segitiga siku-siku, tiga sisi memenuhi $a^2=c^2-b^2$. Bagaimana segiempat berkembang lebih lanjut?)
Jika tiga panjang sisi segitiga $a, b, c$ memenuhi $a^2 = c^2 - b^2$, apakah segitiga yang dibentuk dari tiga segmen ini merupakan segitiga siku-siku? Mengapa?

Penjelasan Detail:
Ya, ini merupakan segitiga siku-siku!
Dengan melakukan pergeseran aljabar sederhana pada persamaan $a^2 = c^2 - b^2$, diperoleh:$a^2 + b^2 = c^2$.
Berdasarkanteorema kebalikan Pythagoras, jika tiga sisi segitiga memenuhi jumlah kuadrat dua sisi sama dengan kuadrat sisi ketiga, maka segitiga ini pasti merupakan segitiga siku-siku (dan $c$ adalah sisi miring).
*Pemikiran Lanjutan:Jika jajaran genjang dibagi diagonalnya menjadi dua segitiga siku-siku (yaitu sudut dalam jajaran genjang adalah $90^{\circ}$), maka ia berubah menjadi persegi panjang; jika sisi berdekatan juga sama panjang, maka akhirnya berubah menjadi persegi. Konsep dasar sudut siku-siku dan sejajar adalah dasar untuk mengeksplorasi semua bentuk segiempat khusus!